Нейроинформатика

       

Точное представление многочленов


В этом разделе исследуются полугруппы полиномов от одного переменного относительно суперпозиции. Показано, что если такая полугруппа содержит все многочлены первой степени и хотя бы один - более высокой, то она включает все многочлены. На основании этого факта доказано, что всегда возможно представить многочлен от многих переменных суперпозициями произвольного нелинейного многочлена от одного переменного и линейных функций.

Вернемся к классическому вопросу о представлении функций многих переменных с помощью функций меньшего числа переменных. Следует еще раз заметить, что классических вопроса существует не один, а два:

  1. Можно ли получить точное представление функции многих переменных с помощью суперпозиции функций меньшего числа переменных?
  2. Можно ли получить сколь угодно точную аппроксимацию функции многих переменных с помощью некоторых более простых функций и операций?

В рамках первого вопроса особый интерес представляют конструкции, в которых для точного представления всех функций многих переменных используется один и тот же набор функций одного переменного.

Традиционно считается, что эти функции должны иметь весьма специальный и довольно экзотический вид, например, как в обсуждавшейся выше теореме Колмогорова, где использовались существенно негладкие функции.

Напротив, свобода в выборе функций одного переменного для решения второго вопроса при том же самоограничении (один набор функций одного переменного - для приближенного представления всех функций многих переменных) очень велика. Для этого, как показано в предыдущем разделе, можно использовать практически любую нелинейную функцию и достаточно всего одной.

Далее доказываются теоремы, относящиеся к первому вопросу (точное представление). В частности, показано, что можно точно представить любой многочлен от многих переменных с помощью суперпозиций произвольного нелинейного многочлена от одного переменного и линейных функций. Следовательно особенной пропасти между 1-м и 2-м вопросом не существует. Именно это обстоятельство побудило нас включить в книгу данный раздел.


Пусть R[X] - кольцо многочленов от одного переменного над полем R,
- линейное пространство многочленов над R.

Предложение 1. Если E замкнуто относительно суперпозиции многочленов, содержит все многочлены первой степени и хотя бы один многочлен p(x) степени m>1, то E=R[X].

Доказательство. Заметим, что степень многочлена p'(x)=p(x+1)-p(x) равна m-1, и
, так как E содержит многочлены первой степени (поэтому
), замкнуто относительно суперпозиции (поэтому
) и линейных операций (поэтому
).

Если m>2, то понижаем степень с помощью конечных разностей (переходим к p', p'' и т.д.), пока не получим многочлен второй степени. Вычитая из него линейную часть и умножая на константу, получаем:
. Поэтому для любого
имеем
(т.к. E - полугруппа). Дальнейшее очевидно: как неоднократно отмечалось выше, отсюда следует, что для любых
их произведение
а с помощью умножения и сложения многочленов первой степени порождается все кольцо R[X].

Перейдем к задаче представления многочленов от многих переменных. Обозначим R[X1, ..., Xn] кольцо многочленов от n переменных над полем R.

Для каждого многочлена от одного переменного введем множество тех многочленов, которые можно выразить с его помощью, используя суперпозиции и линейные функции. Пусть p - многочлен от одного переменного, Ep[X1, ..., Xn] - множество многочленов от n переменных, которое можно получить из p и многочленов первой степени, принадлежащих R[X1, ..., Xn], с помощью операций суперпозиции, сложения и умножения на число.

Следующие два предложения дают удобную для дальнейшего характеризацию Ep[X1, ..., Xn] и следуют непосредственно из определений.

Предложение 2. Множество Ep[X1, ..., Xn] является линейным пространством над R и для любого многочлена g(x1, ... ,xn) из
.

Предложение 3. Для данного p семейство линейных подпространств
, содержащих все многочлены первой степени и удовлетворяющих условию

если
, то
,

замкнуто относительно пересечений. Минимальным по включению элементом этого семейства является Ep[X1, ..., Xn].

Для любого линейного подпространства
рассмотрим множество алгебраических унарных операций, которые переводят элементы E в элементы E:



для любого
.

Предложение 4. Для любого линейного подпространства
множество полиномов PE является линейным пространством над R, замкнуто относительно суперпозиции и содержит все однородные многочлены первой степени.

Если линейное пространство E содержит 1, а PE включает хотя бы один многочлен, степени m>1 (т.е. нелинейный), то PE=R[X].

Доказательство. Замкнутость PE относительно суперпозиции следует из определения, все однородные полиномы первой степени входят в PE, поскольку E является линейным пространством, отсюда также следует, что PE является линейным пространством. Наконец, если
и PE содержит многочлен степени m>1, то
, тогда PE=R[X] по предложению 1.

Теорема 3. Пусть
- линейное подпространство, PE содержит хотя бы один многочлен степени m>1 и
, тогда E является кольцом (с единицей).

Доказательство. По предложению 4 в условиях теоремы PE=R[X]. В частности,
. Это означает, что для любого
также и
. Поэтому для любых
получаем:
.

Теорема 4. Для любого многочлена p степени m>1

Ep[X1, ..., Xn]=R[X1, ..., Xn]

Доказательство. Заметим, что E=Ep[X1, ..., Xn] - линейное подпространство в R[X1, ..., Xn], PE содержит хотя бы один многочлен (p) степени m>1 и E содержит все многочлены первой степени (и поэтому также 1). В силу теоремы 3, E является кольцом, а так как оно содержит все многочлены первой степени, то совпадает с R[X1, ..., Xn], поскольку, используя умножение и сложение можно из этих многочленов получить любой.

Таким образом, из p и многочленов первой степени с помощью операций суперпозиции, сложения и умножения на число можно получить все элементы R[X1, ..., Xn].


Содержание раздела