Логические нейронные сети


Логические функции высказываний


Множество логических переменных - высказываний о событиях {x1, x2, …, xn} в контексте некоторого приложения образует пространство событий размерности n. Точка этого пространства является ситуацией.

Можно записать произвольную композицию на основе заданного множества переменных-высказываний и логических операций, например, ¬

xy
z,

(x

y)
(y
z). Почему первую композицию следует считать бессмысленной? По-видимому, потому, что она содержит конструкции, не определенные в терминах алгебры логики, и не может быть исчерпывающим образом преобразована в таковые на основе применения (1)-(10). Тогда вторая приведенная композиция имеет смысл, т.к. полностью подвержена основным определениям операций алгебры логики и правилам преобразования в ней.

Высказывания (о событиях) в качестве переменных могут входить в состав сложных формирований - логических функций, принимающих (булевы) значения 1 (ИСТИНА) или 0 (ЛОЖЬ).

Определение 3. Имеющая смысл линейно-скобочная композиция операций ¬,

,
над переменными-высказываниями x1, x2, …, xn, образующими пространство событий, задает логическую функцию f(x1, x2, …, xn), принимающую для различных ситуаций, т.е. наборов значений переменных, значения 0 или 1.

Таким образом, логическая функция является булевой функцией ситуаций.

В классической теории булевых функций [1] показывается, что каждая такая функция может быть представлена дизъюнктивной и (или) конъюнктивной нормальной формой. В первом случае ее структура выражается как дизъюнкция конъюнкций, во втором - как конъюнкция дизъюнкций.

Рассмотрим две логические функции

Y = x1

(x2
x1
x3) и

Z = (x1

x2)
( x3
x2).

Выражение Y представлено дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Выражение Z соответствует конъюнктивной нормальной форме (КНФ), практически не применяемой.

Преобразуем

Z = (x1

x3)
(x1
x2)
(x2
x3). (Учитывается, что x2
x2 = 0.)

Это - дизъюнктивная нормальная форма.

Практически, например, при конструировании электронных устройств, известно наперед, какой сигнал на отдельно взятом выходе должен формироваться при различных значениях сигналов на входе.


Начало  Назад  Вперед